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Aprende el valor absoluto y sus propiedades

El concepto de valor absoluto tiene muchos usos. El valor absoluto de un número es la distancia, en la recta numérica, de ese número desde cero.

Como usaremos la definición intuitiva basada en líneas de números, comencemos mirando la recta numérica

El valor absoluto de x , denotado ” | x | ” (y que se lee como “el valor absoluto de x “), es la distancia de x desde cero. Es por eso que el valor absoluto nunca es negativo.

Valor absoluto y sus propiedades

El valor absoluto solo pregunta “¿hasta dónde?”, no “¿en qué dirección?” Esto significa que no solo eso | 3 | = 3 , porque 3 es tres unidades a la derecha de cero, pero también eso | -3 | = 3 , porque -3 es tres unidades a la izquierda de cero.

Puedes ver esto en la siguiente recta numérica:

Valor absoluto y sus propiedades
Valor absoluto y sus propiedades

La notación de valor absoluto es con barras, no paréntesis o corchetes. Utiliza la notación apropiada; las otras notaciones no significan lo mismo.

Es importante tener en cuenta que las barras de valores absolutos NO funcionan de la misma manera que los paréntesis. Mientras que – (- 3) = +3 , NO es así como funciona para el valor absoluto:

Simplificar – | -3 | .

Dado – | -3 | , Primero necesito manejar la parte de valor absoluto, tomando el positivo de los interiores (el “argumento de” el valor absoluto) y luego convertir las barras de valor absoluto en paréntesis:

– | -3 | = – (+ 3)

Ahora puedo tomar el negativo entre paréntesis:

– | -3 | = – (3) = -3

Si tomas el valor negativo de un valor absoluto (es decir, si tiene un signo “menos” delante de las barras de valor absoluto), obtendrás un número negativo para su respuesta.

Valor absoluto en igualdades y desigualdades

X es un número real. El valor absoluto de X se denota por | x |y se define como:

Valor absoluto y sus propiedades
Valor absoluto y sus propiedades

Ya X sea ​​positivo o negativo, su valor absoluto siempre será positivo.

|x| = 0 si y solo si x = 0

|x| ≥ 0 para cada x que pertenece a ℜ

Un valor absoluto también tiene algunas propiedades:

|a . b| = |a| . |b|

|a/b| = |a/b|, b ≠ 0

|a + b| ≤ |a| + |b|

¿Son esas igualdades verdaderas?

El producto de dos números positivos y el producto de dos números negativos siempre será positivo, y si uno es negativo y el otro positivo, el producto es negativo.

Si primero multiplicamos dos números y luego tomamos su valor absoluto, siempre será no negativo debido a la forma en que se define el valor absoluto. Si tomamos primero el valor absoluto de dos números y luego los multiplicamos, el producto siempre será no negativo. Como el valor absoluto solo cambia el signo, la salida en ambos casos es la misma.

De forma similar, un cociente es positivo si tanto el divisor como el dividendo son positivos o negativos, por lo que no importa si divide dos números positivos o si elimina el signo menos del resultado.

¿Por qué hay una desigualdad? Bueno, la lógica que utilizamos para la multiplicación y la división no puede aplicarse aquí, porque no es lo mismo si agrega dos números positivos, y si tiene resta y luego lo hace positivo. Por ejemplo:

| 2 | – | 4 | = 2 – 4 = – 2 y  | 2 – 4 | = | -2 | = 2

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