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Conoce las propiedades trigonométricas y sus funciones

Propiedades trigonométricas

Las propiedades trigonométricas sirven para calcular las proporciones de los lados en los triángulos. Las seis funciones son seno, coseno, tangente , cotangente, secante y cosecante.

También son conocidos como las funciones circulares, ya que sus valores pueden ser definidos como proporciones de la X y Y coordenadas de puntos en un círculo de radio 1 que corresponden a los ángulos en las posiciones estándar.

Dichos valores han sido tabulados y programados en calculadoras científicas y computadoras. Esto permite en la trigonometría aplicar fácilmente a topografía, ingeniería y problemas de navegación en los que se conoce uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo y la longitud de un lado y las longitudes de los otros lados se encuentran.

La identidad trigonométrica fundamental es sen² θ + cos² θ = 1, donde θ es un ángulo. Ciertas cualidades intrínsecas de las funciones trigonométricas las hacen útiles en el análisis matemático . En particular, sus derivados forman patrones útiles para resolver ecuaciones diferenciales.

Propiedades trigonométricas
Propiedades trigonométricas

Origen de las propiedades trigonométricas

El uso de las propiedades trigonométricas surge de la conexión temprana entre las matemáticas y la astronomía. Los primeros trabajos con triángulos esféricos eran tan importantes como los triángulos planos.

Dado un círculo de radio fijo, a menudo se usaban 60 unidades en los primeros cálculos, luego el problema era encontrar la longitud del acorde subtendido por un ángulo dado. Para un círculo de radio unitario, la longitud del acorde subtendido por el ángulo x era 2sen ( x / 2).

La primera tabla de acordes conocida fue producida por el matemático griego Hiparco alrededor del 140 aC Aunque estas tablas no han sobrevivido, se afirma que doce libros de tablas de acordes fueron escritos por Hiparco. Esto hace que Hiparco sea el fundador de la trigonometría.

Ptolomeo fue el siguiente autor de un libro de acordes, que muestra la misma influencia babilónica que Hiparco , dividiendo el círculo en 360 ° y el diámetro en 120 partes. La sugerencia aquí es que él estaba siguiendo la práctica anterior cuando se utilizó la aproximación 3 para π.

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Propiedades trigonometrícas

Para entender las propiedades trigonométricas primero hay que conocer las partes de un triangulo. Los tres lados tienen sus propios nombres que son hipotenusa, opuesto y adyacente.

Propiedades trigonométricas
Propiedades trigonométricas

Las funciones de trigonometría son:

  • Función seno: sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
  • Función coseno: cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
  • Función tangente: tan(θ) = Opuesto / Adyacente

Ten en cuenta que si conoces el seno de un ángulo θ , entonces conoces el coseno del ángulo complementario 90 ° – θ.  Del mismo modo, si conoces el coseno de un ángulo θ, entonces conoces el seno del ángulo complementario 90 ° – θ :

cosθ = sin (90°- θ)       sinθ = cos(90° – θ)

Entonces tienes las funciones trigonométricas para 18 ° y 54 ° también.

A continuación, puedes usar las fórmulas de medio ángulo para senos y cosenos para calcular los valores de la mitad de un ángulo si conoces los valores para el ángulo. Si θ es un ángulo entre 0 ° y 180 °, entonces:

Utilizando estos, a partir de los valores de 18 °, 30 ° y 54 °, puede encontrar los valores para 27 °, 15 ° y 9 °, y, por lo tanto, sus complementos 63 °, 75 ° y 81 °.

Con la ayuda de las fórmulas de suma y diferencia puedes encontrar el seno y el coseno durante 3 ° (desde 30 ° y 27 °) y luego rellenas las tablas de seno y coseno para ángulos de 0 ° a 90 ° en incrementos de 3 °.

propiedades trigonométricas
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De nuevo, usando fórmulas de ángulo medio, podría producir una tabla con incrementos de 1.5 ° (es decir, 1 ° 30 ‘), luego 0.75 ° (que es 45’), o incluso de 0.375 ° (que es 22 ’30 “) ).

Pero ¿cómo se obtiene una tabla con incrementos de 1°? Ptolomeo reconoció que no había construcción euclidiana para trisecar un ángulo de 3° para obtener un ángulo de 1°, pero dado que la función seno es casi lineal para ángulos pequeños, podría aproximarse a sen 1 simplemente interpolando un tercio del camino entre los valores de sen 0.75 ° y sen 1.5 °.

Con ese paso, podemos construir tablas de trigonometría para funciones trigonométricas con incrementos de 1 °. Se han creado mejores tablas trigonométricas a lo largo de los siglos. Por ejemplo, Ulugh Beg (siglo XV) construyó tablas sinusoidales y tangentes por cada minuto de arco con aproximadamente nueve dígitos de precisión.

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