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5 propiedades de los números reales que tienes que saber

Propiedades de los números reales

Comprender las propiedades de los números reales nos ayudará a simplificar las expresiones numéricas y algebraicas, resolver ecuaciones y más a medida que se avanza en el estudio del álgebra.

Para mayor claridad, las “propiedades” en este contexto se refieren a las características o comportamientos de los números reales en las operaciones de adición y / o multiplicación que se aceptan incluso sin pruebas.

De hecho, los términos axiomas y propiedades pueden usarse indistintamente porque los axiomas son propiedades que son verdaderas evidentes.

Por lo tanto, las declaraciones o proposiciones que se presentarán no requieren ninguna prueba. En otras palabras, las propiedades o axiomas de los números reales son sólo uno de los muchos fundamentos básicos de las matemáticas.

Números reales

En matemáticas un número real es una cantidad que se puede expresar como una expansión decimal infinita. Los números reales se utilizan en mediciones de cantidades continuamente variables, como el tamaño y el tiempo, en contraste con los números naturales 1, 2, 3, …, que surgen del conteo.

La palabra real los distingue de los números complejos que implican el símbolo i, o la raíz cuadrada de √ -1, utilizados para simplificar la interpretación matemática de efectos tales como los que ocurren en los fenómenos eléctricos.

Propiedades de los números reales
Propiedades de los números reales

Los números reales incluyen los enteros y las fracciones positivos y negativos (o números racionales ) y también los números irracionales.

Los números irracionales tienen expansiones decimales que no se repiten, en contraste con los números racionales, cuyas expansiones siempre contienen un dígito o grupo de dígitos que se repite, como 1/6 = 0.16666… o 2/7 = 0.285714285714 … El decimal formado como 0.42442444244442 … no tiene un grupo que se repita regularmente y, por lo tanto, es irracional.

Los números irracionales más familiares son los números algebraicos, que son las raíces de las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros.

Por ejemplo, la solución a la ecuación x² – 2 = 0 es un número irracional algebraico, indicado por la raíz cuadrada de √ 2 . Algunos números, como π y e , no son las soluciones de ninguna de estas ecuaciones algebraicas y, por lo tanto, se llaman números irracionales trascendentales.

Estos números a menudo se pueden representar como una suma infinita de fracciones determinadas de manera regular, de hecho, la expansión decimal es una de esas suma.

Los números reales se pueden caracterizar por la importante propiedad matemática de Completitud. Lo que significa que cada conjunto no vacío que tiene un límite superior tiene un límite más pequeño, una propiedad no poseída por los números racionales.

Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menores que 2 no tiene un límite superior más pequeño, porque la raíz cuadrada de √ 2 no es un número racional.

Los números irracionales y racionales son infinitos, pero la infinidad de irracionales es “mayor” que la infinidad de los racionales, en el sentido de que los racionales pueden emparejarse con un subconjunto de los irracionales, mientras que el emparejamiento inverso no es posible.

Propiedades de los números reales

Las propiedades de los números reales son útiles para poder resolver cualquier ejercicio de álgebra. Es importante conocerlas bien para evitar posibles errores de cálculo.

Propiedades de los números reales
Propiedades de los números reales

Propiedades conmutativas

La propiedad conmutativa de la suma dice que podemos agregar números en cualquier orden. La propiedad conmutativa de la multiplicación es muy similar. Dice que podemos multiplicar números en el orden que queramos sin cambiar el resultado.

Suma: 5a + 4 = 4 + 5a

Multiplicación: 3 x 8 x 5b = 5b x 3 x 8

Propiedades asociativas

Tanto la suma como la multiplicación se pueden hacer con dos números a la vez. Entonces, si hay más números en la expresión, ¿cómo decidimos cuáles dos asociar primero?

La propiedad asociativa de adición nos dice que podemos agrupar números en una suma de la manera que queramos y obtener la misma respuesta.

(4x + 2x) + 7x = 4x + (2x + 7x)

La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que podemos agrupar números en un producto de la forma que queramos y aún obtener la misma respuesta.

2x 2 (3y) = 3y (2x 2 )

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva entra en juego cuando una expresión implica tanto suma como multiplicación. Un nombre más largo para esto es la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Nos dice que si un término se multiplica por términos entre paréntesis, necesitamos ” distribuir ” la multiplicación sobre todos los términos dentro.

2x (5 + y) = 10x + 2xy

Aunque el orden de las operaciones dice que primero debe agregar los términos dentro del paréntesis, la propiedad distributiva permite simplificar la expresión multiplicando cada término dentro del paréntesis por el multiplicador. Esto simplifica la expresión.

Propiedad de densidad

La propiedad de densidad nos dice que siempre podemos encontrar otro número real que se encuentre entre dos números reales. Por ejemplo, entre 5.61 y 5.62, hay 5.611, 5.612, 5.613 y así sucesivamente.

Entre 5.612 y 5.613, hay 5.6121, 5.6122 … ¡y una lista interminable de otros números!

Propiedad de identidad

La propiedad de identidad para la suma nos dice que cero agregado a cualquier número es el número mismo. Zero se llama la “identidad aditiva”.

La propiedad de identidad para la multiplicación nos dice que el número 1 multiplicado por cualquier número da el mismo número. El número 1 se llama la “identidad multiplicativa”.

Suma: 5y + 0 = 5y

Multiplicación:  2c × 1 = 2c

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