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Propiedades de los logaritmos: qué son y para qué sirven

Propiedades de los logaritmos

Así como la resta es la operación inversa de la suma, y ​​la raíz cuadrada es la operación inversa de exponer al cuadrado, la exponenciación y los logaritmos son operaciones inversas. Encontrar un antilogaritmo es la operación inversa de encontrar un registro, por lo que es otro nombre para la exponenciación. Históricamente, esto se hizo como una tabla de búsqueda.

Inventados en el siglo XVII para acelerar los cálculos, los logaritmos redujeron enormemente el tiempo requerido para multiplicar números con muchos dígitos. Fueron básicos en el trabajo numérico durante más de 300 años, hasta que la perfección de las máquinas de cálculo mecánico a fines del siglo XIX y las computadoras en el siglo XX las volvieron obsoletas para los cálculos a gran escala.

El logaritmo natural (con base e ≅ 2.71828 ), continúa siendo una de las funciones más útiles en matemáticas, con aplicaciones a modelos matemáticos en todas las ciencias físicas y biológicas.

Qué es un logaritmo

Un logaritmo es el exponente o potencia a la que se debe elevar una base para producir un número dado.

Expresado matemáticamente, x es el logaritmo de n a la base b si bx = n , en cuyo caso uno escribe x = logb n.

Propiedades de los logaritmos
Propiedades de los logaritmos

Por ejemplo, 2³ = 8; por lo tanto, 3 es el logaritmo de 8 a la base 2, o 3 = log2  8. De la misma manera, dado que 10² = 100, entonces 2 = log10 100. Los logaritmos de la última clase (es decir, logaritmos con base 10 ) son llamados logaritmos comunes.

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos fueron rápidamente adoptados por los científicos debido a varias propiedades útiles que simplificaron los cálculos largos y tediosos.

En particular, los científicos podrían encontrar el producto de dos números m y n por buscar logaritmo de cada número en una tabla especial, la adición de los logaritmos juntos, y luego consultar la tabla de nuevo para encontrar el número con el que logaritmo calculado.

Expresado en términos de logaritmos comunes, esta relación viene dada por logm n = log m + log n . Por ejemplo, se pueden calcular 100 × 1,000 buscando los logaritmos de 100 (2) y 1,000 (3), sumando los logaritmos (5) y luego encontrando su antilogaritmo (100,000) en la tabla.

Del mismo modo, los problemas de división se convierten en problemas de resta con logaritmos: log m / n = log m – log n. Esto no es todo; el cálculo de poderes y raíces se puede simplificar con el uso de logaritmos.

Los logaritmos también se pueden convertir entre cualquier base positiva, como se muestra en la tabla de leyes logarítmicas.

Leyes de logaritmos
Leyes de logaritmos

Solo los logaritmos para números entre 0 y 10 se incluyeron típicamente en las tablas de logaritmos.

Para obtener el logaritmo de un número fuera de este rango, el número se escribió primero en notación científica como el producto de sus dígitos significativos y su potencia exponencial; por ejemplo, 358 se escribirían como 3.58 × 10 2 y se escribirían 0.0046. como 4.6 × 10 -3 .

Luego, el logaritmo de los dígitos significativos: una fracción decimal entre 0 y 1, conocida como lamantisa-se encontraría en una tabla.

Por ejemplo, para encontrar el logaritmo de 358, uno buscaría log 3.58 ≅ 0.55388. Por lo tanto, log 358 = log 3.58 + log 100 = 0.55388 + 2 = 2.55388. En el ejemplo de un número con un exponente negativo, como 0.0046, uno buscaría log 4.6 ≅ 0.66276. Por lo tanto, log 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 – 3 = -2.33724.

Tabla de logaritmos

Las tablas de logaritmos se utilizaban antes de que existieran las calculadoras portátiles. Antes se debería recurrir a estas enormes tablas para poder calcular un logaritmo.

En la actualidad estas operaciones se pueden realizar de manera sencilla y exacta con una calculadora. Con las tablas se corría el riesgo de equivocarse más fácilmente.

Tabla logaritmos
Tabla logaritmos

Historia de los logaritmos

La invención de los logaritmos fue prefigurada por la comparación de las secuencias aritméticas y geométricas.

En una secuencia geométrica, cada término forma una relación constante con su sucesor.Por ejemplo: 1 / 1,000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1,000 tiene una razón común de 10.

En una secuencia aritmética, cada término sucesivo difiere en una constante, conocida como la diferencia común. Por ejemplo:  -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 tiene una diferencia común de 1.

Hay que tener en cuenta que una secuencia geométrica se puede escribir en términos de su proporción común; para la secuencia geométrica de ejemplo dada anteriormente: 10 -3 , 10 -2 , 10 -1 , 10 0 , 10 1 , 102 , 10 3.

Multiplicar dos números en la secuencia geométrica, digamos 1/10 y 100, es igual a sumar los exponentes correspondientes de la razón común, -1 y 2, para obtener 10¹ = 10. Por lo tanto, la multiplicación se transforma en suma.

Propiedades de los logaritmos
Propiedades de los logaritmos

La comparación original entre las dos series, sin embargo, no se basó en ningún uso explícito de la notación exponencial; esto fue un desarrollo posterior. En 1620, el matemático suizo Joost Bürgi publicó en Praga la primera tabla basada en el concepto de relacionar secuencias geométricas y aritméticas.

El matemático escocés John Napier publicó su descubrimiento de los logaritmos en 1614. Su propósito era ayudar en la multiplicación de cantidades que entonces se llamaban senos.

El seno completo era el valor del lado de un triángulo rectángulo con una hipotenusa grande. Su definición fue dada en términos de tasas relativas.

La disponibilidad de logaritmos influyó mucho en la forma de plano y esférico en trigonometría. Los procedimientos de trigonometría se refundieron para producir fórmulas en las que las operaciones que dependen de los logaritmos se hacen todas a la vez.

El recurso de las tablas consistió entonces en solo dos pasos, obtener logaritmos y, después de realizar cálculos con los logaritmos, obtener antilogaritmos.

Propiedades de los logaritmos: qué son y para qué sirven
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