Skip to content
100propiedades

7 propiedades de los límites matemáticos

Propiedades de los límites

Los límites en matemáticas se utilizan para formalizar la aproximación de una función hacia un punto concreto, mientras se acerca a cierto valor.

Las funciones de derivadas, integrales y convergentes se basan en las propiedades de los límites.

Qué son los límites

Echemos un vistazo al siguiente gráfico y supongamos también que el límite existe.

Límite
Límite

Lo que la definición nos dice es que para cualquier número ε > 0 que elijamos podemos ir a nuestro gráfico y esbozar dos líneas horizontales en L + ε y L – ε como se muestra en el gráfico anterior.

Entonces, en algún lugar del mundo hay otro número δ > 0 , que tendremos que determinar, que nos permitirá agregar dos líneas verticales a nuestro gráfico en a + δ y a – δ .

Si tomamos cualquier x en la región rosa, es decir, entre un a + δ y un a – δ , entonces este x estará más cerca de una a que cualquiera de un a + δ y un a – δ. Es decir: |x – a| < δ

Si ahora identificamos el punto en el gráfico que nuestra elección de x da, entonces este punto en el gráfico se ubicará en la intersección de la región rosa y amarilla. Esto significa que este valor de función f ( x ) estará más cerca de L que cualquiera de L + ε y L – ε . Es decir: |f (x) – L|< ε

Si tomamos cualquier valor abosluto de x en la región rosa, entonces el gráfico para esos valores de x estará en la región amarilla.

Hay que tener en cuenta que en realidad hay un número infinito de δ posibles que podemos elegir. De hecho, si retrocedemos y miramos el gráfico de arriba, parece que podríamos haber tomado un δ ligeramente más grande y aún así obtener el gráfico de esa región rosa para estar completamente contenida en la región amarilla.

Además, observa que, como señala la definición, solo necesitamos asegurarnos de que la función esté definida en algún intervalo alrededor de x = a pero realmente no nos importa si está definida en x = a.

Recuerda que a los límites no les importa lo que está sucediendo en el punto, solo les importa lo que está sucediendo alrededor del punto en cuestión.

Propiedades de los límites
Propiedades de los límites

Propiedades de los límites

Para poder calcular los límites se necesitan conocer sus propiedades en cada función. Si recordamos bien estas propiedades no tendremos ningún problema para calcular funciones más complejas.

Regla de suma

Esta regla establece que el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites:

lim x → a [f ( x ) +g ( x ) ]= lim x → a f(x)+ lim x → a g(x).

Regla de suma extendida

lim x → a [ f 1 ( x ) +…+ f n ( x ) ]= lim x → a f 1 (x)+…+ lim x → a f n (x).

Regla de función constante

El límite de una función constante es la constante: lim x → un C=C.

Regla múltiple constante

El límite de una constante multiplicado por una función es igual al producto de la constante y el límite de la función:
lim x → a kf(x)=k lim x → a f(x).

Regla del producto

Esta regla dice que el límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites (si existen):

lim x → a [f ( x ) g ( x ) ]= lim x → a f(x)⋅ lim x → a g(x).

Regla de producto extendida

lim x → a [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ]= lim x → a f 1 (x)⋅ lim x → a f 2 (x)⋯lim x → a f n (x).

El Teorema del aprieto

Supongamos que g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) para todo x cerca de una , excepto tal vez para x = un.

Si lim x → a g(x)= lim x → a h(x)=L, entonces lim x → una f(x)=L.

La idea aquí es que la función f ( x ) se aprieta entre otras dos funciones que tienen el mismo límite L .

7 propiedades de los límites matemáticos
4 (80%) 7 votes