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Aprende fácilmente 5 propiedades de los exponentes

Propiedades de los exponentes

Algunos números son fáciles de escribir, como el número 87. Pero otros son más difíciles de anotar. Por ejemplo, cuando multiplicamos 87 por sí mismo tres veces – (87) (87) (87) – obtenemos 658503.

Escribir este número largo, o incluso la ecuación original, lleva bastante tiempo, pero los exponentes hacen las cosas más fáciles. Con exponentes, podemos escribir: 87³ . Esto se llama potencia , donde 87 es la base y 3 es el exponente .

Entonces, vemos que (87) (87) (87) = 87³ . Hay que tener en cuenta que el exponente nos dice que multipliquemos la base, 87, por sí mismo 3 veces. (NO significa que multipliquemos 87 por 3.)

Propiedades de los exponentes

Ahora, hablemos de las diferentes propiedades de los exponentes utilizadas para crear expresiones equivalentes, que son expresiones que son iguales entre sí.

Si elevamos 0 a cualquier exponente positivo, obtenemos 0. Esto tiene sentido, porque si multiplicas una o más copias de 0 juntas, obtendrás 0. Resulta que es difícil que 0 se convierta en algo distinto de 0. Incluso si realmente se aplica a sí mismo.

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1. Piénsela de esta manera:

24= 16
2³ = 8
2² = 4
2¹ = 2

A medida que el exponente disminuye en 1, la respuesta se divide por la mitad. Si dejamos caer el exponente por 1 una vez más y dividimos la respuesta por la mitad otra vez, obtenemos 20 = 1.

Así que:

20 = 1
30 = 1
150= 1
(-36.25)0 = 1

Propiedades de los exponentes
Propiedades de los exponentes

Propiedad de los exponentes negativos

La propiedad de los exponentes negativos sostiene que un exponente negativo en el numerador debe moverse al denominador y debe volverse positivo. En otras palabras, significa que la base y el exponente deben estar en el otro lado de la línea de fracción y el exponente debe ser positivo. Entonces, x-a = 1 / x a .

Supongamos que se nos dan esta expresión para evaluar: 2-3

Para crear una expresión equivalente, basta con mover la base y el exponente al otro lado de la línea de fracción y cambiar el exponente a positivo: 1 / (2³ )

Productos de exponentes

El producto de la propiedad de poderes dice que cuando multiplicamos potencias con la misma base, solo tenemos que agregar los exponentes.

Entonces, xa xb = xa+b. Como puedes ver, mantenemos la base igual y agregamos los exponentes juntos.

Probemos un ejemplo: ( x³ ) ( x² )

Como la base es la misma para cada factor, solo agregamos los exponentes: x3+2 = x5

x5 es nuestra expresión equivalente. (Si escribimos esto por el camino largo, sería: (x) (x) (x) multiplicado por (x) (x)).

Esta propiedad también funciona con exponentes negativos.

Por ejemplo, digamos que tenemos: ( x³ ) ( x-2 )

Mantendremos la base igual y agreguemos los exponentes: x3+ -2 = x¹ , o simplemente x

Propiedades de los exponentes
Propiedades de los exponentes

Cocientes de los exponentes

La propiedad de cocientes de poderes dice que cuando dividimos los poderes con la misma base, simplemente restamos los exponentes. Entonces  xa / xb  = x a-b . Tenga en cuenta que mantenemos la base igual y restamos los exponentes.

Por ejemplo si tenemos: ( x³ ) / ( x² )

Una expresión equivalente sería: x3-2 = x¹

Si escribimos esto por el camino largo, sería ( x ) ( x ) ( x ) dividido por ( x ) ( x ), que es simplemente x .

Veamos otro ejemplo: x³  /  x4

El exponente que se resta es más bajo que el exponente que se resta. Todavía podemos aplicar la propiedad del cociente de poderes:

x3-4 , que es igual a x-1

Potencia de un exponente

La potencia de una propiedad de poder establece que cuando tomamos la potencia de un exponente, mantenemos la base y multiplicamos los exponentes.

Entonces, ( xa)b = x ( a veces b ) . Esto muestra que escribimos nuestra base y solo multiplicamos los exponentes dados.

Supongamos que tenemos este problema: ( x4)3

Utilizando la base presentada anteriormente, esto es lo mismo que: x4 x4 x4

Recuerda, cuando multiplicamos poderes, agregamos los exponentes, entonces: x4+4+4 = x12

O bien, podríamos multiplicar los exponentes de la base dada. Esto nos daría: ( x4 )3 = x (4 por 3) = x12

Multiplicas y dividir los exponentes

Es posible multiplicar y dividir potencias en el mismo problema. Primero simplificamos las potencias entre paréntesis, luego multiplicamos o dividimos el problema restante. Esto se ilustra mejor con un ejemplo:

Diga que tenemos: x4 / (x2 x5)

Para resolver, primero, hay que mantener el x4 en el numerador por ahora, luego se multiplica los poderes en el denominador agregando los exponentes (ya que las bases son las mismas).

Asi que: x4 / x2+5 = x4 / x7

Del problema restante, se dividen los poderes restando los exponentes: x4-7 = x-3

Es importante entender bien las propiedades de las exponentes para poder comprender los logaritmos y asi no arrastrar ningún error.

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